Octaveレッスン(9) - FIRフィルタについて復習

*FIRフィルタについて復習

昔、FIRフィルタについて、お勉強したハズなのだが、すっかり忘れてしまったので、参考書籍をもろもろ読み直して復習した。

ここに要点を記載しておく（また忘れないように）。

まずは、f(t)のフーリエ変換、逆フーリエ変換の式をおさらい：

  F(ω)=∫f(t)e^(-jωt) dt　　…(1)
  f(t)=1/2π∫F(ω)e^(jωt)dt　　…(2)

上記2式は下式のように略記されることが多い：

  F(ω)=F{f(t)}
  f(t)=F^-1{F(ω)}

線形システムにおいて、インパルス応答h(t)のフーリエ変換をH(ω)とすると、下式が成り立つ：

　f(t)＊h(t)=1/2π∫F(ω)H(ω)e^(jωt)dt

時間領域の畳み込み演算（＊）だが、周波数領域では単なる積の演算になっている。

なお、線形システムとは、入力信号が足し算で表されるなら出力信号もその足し算で表され、入力が定数倍になれば、出力も定数倍になるような系のこと。

ローパスフィルタ（周波数ωc以下の低域を通し、それより上の周波数は遮断）は、下図の左上のような方形窓H(ω)を周波数領域でF(ω)と乗算することを意味する。

方形窓H(ω)を逆フーリエ変換したh(t)を求めて、時間領域にて、h(t)と入力信号f(t)の畳み込み演算を行うと、ローパスフィルタのかかった出力信号が得られることになる。

方形窓の逆フーリエ変換を計算するとsinc関数になる：

 h(t)=1/πt sin(ωt)

実用の場では、離散フーリエ変換を使用するので、下図の右上のような離散的なsinc関数になる。

sinc関数は無限に続く関数なので、このままでは使えない（有限時間で計算できない）。
そのため、1/πt sin(ωn) のnをどこかで打ち切ってフィルタ係数として使用する（下図の中央右）。

『はじめて学ぶディジナル・フィルタと高速フーリエ変換』（CQ出版）p.93 図6-1

有限範囲で係数を打ち切ると、上図の中央左のように、通過域・阻止域にうねり（リップル）が生じてしまう（ギブス現象）。
フィルタ係数の打ち切りは、時間領域で矩形窓をかけていることを意味する。
リップルを和らげるために、時間領域でなだらかな窓関数（ハミング窓など）と係数を乗算する（上図の右下）。

得られたフィルタ係数の周波数特性を求め（上図の左下）、所望の特性が得られていることを確認する。

以上でFIRフィルタについての復習はおしまい。

ついでにフーリエ変換の対称性についても復習しておく。

(1), (2)を見比べると、2式には類似性がある。
(2)において、tを-ω, ωをtと置き換えると、

 2πf(-ω)=∫F(t)e^(-jωt)dt
              = F{F(t)}            

つまり、フーリエ変換の対称性を示す下式が得られた：

  F{F(t)} = 2πf(-ω)

フーリエ変換の対称性が役立つのは、f(t)のフーリエ変換F(ω)が判明しているが、F(ω)のωをtに入れ替えた関数F(t)のフーリエ変換が簡単に求まらない場合。

F(t)のフーリエ変換は、対称性からf(t)のtを-ωに入れ替えたf(-ω)に2πを乗じた関数になる。

例えば、方形窓r(t)

r(t) = 1(-1<t<1), 0(t<-1 or 1<t)

のフーリエ変換R(ω)を求めると

R(ω) =∫1*e^(-jωt)dt = 2 sin(ω)/ω

これを踏まえると、関数f(t):

f(t) = sin(ω)/ω

のフーリエ変換を求めることができる。
f(t)=R(t)/2なので、フーリエ変換の対称性より、

F(ω) = 2πr(-ω)/2 = πr(-ω)

と簡単に求まる。